Пусть O — центр полушара и основания конуса, S — вершина конуса, T — точка на основании конуса. Рассмотрим сечение TSO. Высота OU треугольника OTS равна R (образующая TS касается полушара) . Обозначим ∠STO = α, ∠OST = 90° − α. Из треугольников OSU и OTU находим радиус основания (OT) и высоту (OS) конуса:
r = R/sin α,
h = R/cos α.
V = ⅓πr²h = ⅓πR³/(cos α sin² α) = ⅓πR³/(cos α − cos³ α).
Функция t − t³ (t = cos α, 0 < t < 1) принимает наибольшее значение в нуле производной 1 − 3t², то есть при t = 1/√3. Оно равно 2/(3√3).
Минимальное значение объёма равно ⅓πR³/(2/(3√3)) = ½πR³√3.