Пусть S(n) обозначает сумму всех цифр натурального числа n. найти все решения уравнения...

$n+S(n)=2010\\ n+S(n)=2*3*5*67\\$
Заметим что если справа число делиться на 3 , то и слева тоже . Воспользуемся известным свойством , делимости на 3 , число делиться на 3 , тогда и только тогда когда сумма его цифр делиться на 3.
Положим пусть $n=19xy$ , где $x;y$ натуральные числа , тогда
$19xy+S(19xy)=2010\\$
откуда $10+x+y$ должно делиться на 3 .
$10+x+y=3N$
очевидно что какие не были $x,y$ , число все равно будет двузначным , исходя из оценки этих чисел .
Пусть $10+x+y=10a+b\\ 10+x+y+a+b=3k\\ 3k-(a+b)=10a+b\\ 11a+2b=3k\\ a=2\\ b=4\\ N=24\\$
откуда число равно $x=8\\ y=6\\ n=1986$
Далее можно проверить по остаткам , и убедится что это единственное решение