Помогите с 5й задачей

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Уравнение будет иметь два решения за счет того что в первом уравнений есть модули.
Преобразовывая второе уравнение
$y^2-y-12 \geq (4-x)(3+x)\\ y^2-y-12 \geq 12+x-x^2\\ y^2+x^2-y-x \geq 24\\ (x-0.5)^2+(y-0.5)^2 \geq \frac{7}{\sqrt{2}}^2\\$
уравнение окружности, так как по условию задача должна иметь два решения , то неравенство превращается в равенство.
Получим    $y=0.5(1-\sqrt{-4x^2+4x+97})\\ y=0.5(1+\sqrt{-4x^2+4x+97})$
Для начало сделаем анализ для первого неравенство
Если
1-2x; \ \frac{1-a}{2} \leq y \leq \frac{a+2x-1}{2} " alt="x<0;\ a=1-2x; \ \frac{1-a}{2} \ \leq y \leq 0\\ x<0;\ a>1-2x; \ \frac{1-a}{2} \leq y \leq \frac{a+2x-1}{2} " align="absmiddle" class="latex-formula">
Видно что
$x \neq 0\\ y \neq 0$
   $|0.5(1-\sqrt{-4x^2+4x+97})|+|0.5(1-\sqrt{-4x^2+4x+97}-x|\leq$ $a-|x-1|$
Уравнение должно иметь одно решение.
Заметим что правая часть это график ломанной прямой ,    $y=a-|x-1|$ , которая проходит симметрично через точку 0\\ (-a;1) \ a<0" alt="(a;1) \ a>0\\ (-a;1) \ a<0" align="absmiddle" class="latex-formula">.
$|0.5-0.5\sqrt{-4x^2+4x+97})|+|0.5-0.5\sqrt{-4x^2+4x+97}-x|\leq$ $a-|x-1|$
Рассмотрим функцию

$y=|0.5-0.5\sqrt{-4x^2+4x+97})|+|0.5-0.5\sqrt{-4x^2+4x+97}-x|\\$ она достигает минимума    $x=-3$ , следовательно неравенство есть равенство , так как касательная в точке $x=-3$
   $f(-3)=3\\ a-|-3-1|=3\\ a=7$
То есть в точке $a=7$ имеется два решения , за счет второго уравнения взятого с обратным значением.

Матов_zn (224k баллов) 19 Март, 18