В треугольнике ABC сторона AB=16 , AC=64 , точка O — центр окружности, описанной около...

Проведем из вершины $B,C$ отрезки $BE;EC$ , где точка $E$ пересечение с окружностью. Обозначим точку перпендикуляра $BD$ с $AO$ $G$ .
Получим четырехугольник $ABCE$ , который вписан в окружность.
По теореме Птолемея $64*BE+16*EC=AE*BC$ , так как $AE$ лежит на центре , то треугольники $ABE;ACE$ прямоугольные.
$AE=\sqrt{64^2+EC^2}\\ BC=\sqrt{16^2+BE^2}$ .
Откуда при подстановке получаем соотношение
$BE*EC=1024$ .
Так как $\sqrt{16^2+BE^2}=\sqrt{64^2+(\frac{1024}{BE})^2}\\\\ BE=64\\\\ EC=16$
Четырехугольник прямоугольник.
Заметим что $BG$ - высота прямоугольного треугольника
$ABE$ , тогда
$BG=\frac{16*64}{\sqrt{16^2+64^2}}=\frac{64}{\sqrt{17}}$ .
Откуда по Теореме Пифагора
$BG^2+AG^2=16^2\\ AG=\sqrt{16^2-\frac{64^2}{17}}=\frac{16}{\sqrt{17}}\\$ , так как $AG$ является высотой прямоугольного треугольника $BAD$ , то
$AG=\frac{16AD}{\sqrt{16^2+AD^2}}\\\\ \frac{16}{\sqrt{17}}=\frac{16AD}{\sqrt{256+AD^2}}\\\\ \sqrt{256+AD^2}=\sqrt{17}AD\\\\ 256+AD^2=17AD^2\\\\ 16AD^2=256\\\\ AD=4$
тогда $CD=64-4=60$