Пусть p(x) это многочлен степени n такой, что |p(x)|<1 для всех действительных x таких,...

0 голосов
25 просмотров

Пусть p(x) это многочлен степени n такой, что |p(x)|<1 для всех действительных x таких, что |x|≤1 . Верно ли, что |p(2)|<<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+4%5E%7Bn%7D+" id="TexFormula1" title=" 4^{n} " alt=" 4^{n} " align="absmiddle" class="latex-formula">


Алгебра (183 баллов) | 25 просмотров
0

что такое n?

Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ
P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\\\
 -1 \leq x \leq 1 \\\\
 
 оценим каждое слагаемое 
 image-1\\\\ " alt="P(x)=ax^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+a_{3}x^{n-3}+a_{4}x^{n-4}+...+a_{k}x^{n-k}\\\\ -1 \leq x \leq 1 \\\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}<1\\\\ P(1) = a+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+....+a_{k}>-1\\\\ " align="absmiddle" class="latex-formula"> 
положим что 
a_{1}=a_{2}=a_{3}=...=a_{k}\\\\
P(1)=k*a_{k}<1\\\\
a_{k}<\frac{1}{k}\\\\
 k\in N\\\\
 
видно что    a_{k}<1\\\\
    
 P(2)=a*2^{n}+a_{1}*2^{n-1}+a_{2}*2^{n-2}+...+a_{k}*2^{n-k} \leq 
2^n+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^{n-k} 
 image0\\\\ D<0\\" alt="a=1\\\\ S_{geom} =2(2^n-1)=2^{n+1}-2<4^n\\\\\ 2^{2n}-2*2^n+2>0\\\\ D<0\\" align="absmiddle" class="latex-formula"> 
 а так как оценка идет сверху то  она и справедлива снизу , верно 
 
(224k баллов)