Два одинаковые круга, которые касаются друг друга, вписанные в острые углы прямоугольного...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Другая идея решения, проведем общую касательную к окружностям , получим что один их треугольников вписанный , тогда его центр окружности $O$ лежит на биссектрисе , так как и у большего треугольника $ABC$ центр так же лежит на биссектрисе , получаем что $AV$ проходит через оба центра .    $O;O_{1}$
$V \in BC$
Проведя радиусы $r;R$ меньшего и большего соответственно , получим их прямоугольных треугольников $AOE;AO_{1}N$
$AE=r*ctg( \frac{a}{2})\\ AN=R*ctg( \frac{a}{2} )\\\\$
Отнимем
$(R-r)ctg\frac{a}{2}=EN\\$ так как
   $2S_{menwix}=S_{bolwego}\\$
получим
$2AE^2=AN^2 \\ \sqrt{2}AE=AN$ .

$AE(\sqrt{2}-1)=(R-r)*ctg\frac{a}{2}\\ AE=r*ctg(\frac{a}{2})\\ r*ctg\frac{a}{2}(\sqrt{2}-1)=(R-r)*ctg\frac{a}{2}\\ \sqrt{2}r*ctg\frac{a}{2}-r*ctg\frac{a}{2}=R*ctg\frac{a}{2}-rctg\frac{a}{2}\\ R=\sqrt{2}r$
Это возможно когда треугольник прямоугольный и равнобедренный , тогда углы
$ABC=45а$

Матов_zn (224k баллов) 19 Март, 18

cos20093_zn · Answer 1 · 2018-03-18T22:36:54+0000

См. чертеж.
MK - общая касательная двух окружностей. N - точка пересечения BC и MK.
1) Прямоугольные треугольники BMN и MKA имеют равные углы, то есть подобны. Поскольку радиусы вписанных окружностей у них равны, эти треугольники равны между собой. То есть BM = MK.
2) Треугольник MKA подобен исходному треугольнику ABC, но его радиус r1 вписанной окружности в √2 меньше (радиусы связаны по условию 2*π(r1)^2 = πr^2).
отсюда и стороны MKA в √2 раз меньше сторон ABC.
Если обозначить AB = c; AC = b; BC = a; ∠CAB = α; то
MK = a/√2; BM = AB - AM = c - b/√2;
Отсюда a/c + b/c = √2; или sin(α) + cos(α) = √2;
Если возвести это в квадрат, получится sin(2α) = 1; то есть α = π/4;

cos20093_zn (69.9k баллов) 19 Март, 18