1)Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС. ВК- высота. Т- точка пересечения биссектрисы АМ и высоты ВК.
Свойство биссектрисы угла треугольника :
биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Рассмотрим треугольник АВК:
ВТ:ТК= АВ:ВК=5:3.
Значит ВТ на 4 больше, чем ТК.
ТК=х, ВТ=х+4,
(х+4):х=5:3,
3х+12=5х, 2х=12, х=6,
ТК=6, ВТ=10, ВК=16.
Так как по условию сказано, что АВ:АС=5:6, то обозначим АВ=5t, AK=3t, по теореме Пифагора АВ²=АК²+ВК²
25t²=9t²+256,
16t²=256,
t²=16, значит t=4
АВ=20, АК=12, АС=24
Р=20+20+24=64
2) Дан равнобедренный треугольник АВС: АВ=ВС. Высота ВК. ВТ=10, ТК=6.
Значит ВК=16.
И по свойству биссектрисы АВ:АК=ВТ:ТК=10:6=5:3
Пусть АВ=5х, АК=3х, тогда по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВК: АВ²=АК²+ВК²,
25х²=9х²+16².
16х²=16²,
х²=16,
х=4,
Значит АВ=20, АС=2АК=2·12=24.
Опустим перпендикуляр ТЕ из точки Т на сторону ВС. Найдем ВЕ и ЕС.
Из прямоугольного треугольника ТКС: ТК=6, КС=12, значит ТС=√6²+12²=√36+144=√180=6√5.
Из прямоугольного треугольника ВТЕ: обозначим ТЕ=у, тогда ВЕ=√(100-у²),
Из прямоугольного треугольника ТСЕ:СЕ=√(180-у²),
Так как ВЕ+ЕС=ВС,
составим уравнение:
√(100-у²) +√(180-у²)=20. Это иррациональное уравнение. Возводим в квадрат.
√(100-у²)=20-√(180-у²). Возводим в квадрат.
100-у²=400-40√(180-у²)+180-у²,
√(180-у²)=12, 180-у²=144, у²=36, у=6,
значит ВЕ=√100-36=√64=8,
ЕС=√180-36=√144=12.
Перпендикуляр ТЕ делит боковую сторону на отрезки 8 и 12.