Очень хочется разобраться. Помогите, пожалуйста!:) Алгебра, 9 класс.Найдите все такие...

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Можно задачу интерпретировать в геометрию .
Сами выражения
$\sqrt{(x-2)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}...$ представляют собой длины отрезков .
Если задачу рассматривать с геометрической точки зрения , получим
некие точки , обозначим $A(2;0)\\ C(0;4)\\ E(4;3)\\ H(-2;1)\\$ ,
и некая точка $G(x;y)$ . Требуется найти такую точку что сумма расстояний от точки $G$ , к вершинам $A;C;E;H$ была минимальной.
Заметим что если обозначить в координатной плоскости $oXY$ , получим параллелограмм $ACEH$ .
Длины сторон $CE=\sqrt{13}\\ AE=\sqrt{17}$ , все по той же формуле $L=\sqrt{(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2}$ .
Видно что минимальное значение будет , это точка пересечения диагоналей.
Точка $G(x;y)$ есть точка пересечения диагоналей.
Так как в точке пересечения диагонали делятся пополам.
То получим
$\sqrt{(4-x)^2+(3-y)^2}=\sqrt{(-2-x)^2+(1-y)^2}\\$
$\sqrt{(2-x)^2+y^2}=\sqrt{x^2+(4-y)^2}$ \
$(4-x)^2+(3-y)^2=(-2-x)^2+(1-y)^2\\ (2-x)^2+y^2=x^2+(4-y)^2\\\\ -12x-4y+20=0\\ 8y-4x-12=0\\\\ x=1\\ y=2$
Для проверки можно положить
$S(y)=\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+(y-4)^2}+\\ \sqrt{9+(y-3)^2}+\sqrt{9+(y-1)^2}$
Рассмотреть функцию , находя производную приравняв к 0 , получим $y=2$

Ответ $x=1;y=2$ минимальное значение равно $\sqrt{40}+\sqrt{20}$

Матов_zn (224k баллов) 19 Март, 18