Помогите решить : вычислить предел

Question 1

Question 2

$lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\frac{2cosx-1}{sin(\frac{\pi}{3}-x)}=\lim\frac{2(cosx-\frac{1}{2})}{\frac{\pi}{3}-x}=\lim\frac{2(cosx-cos\frac{\pi}{3})}{\frac{\pi}{3}-x}=\\\\=\lim\frac{-4sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})sin(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{3}-x}=\lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\frac{-4sin(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6})(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6})}{\frac{\pi}{3}-x}=\\\\=\lim\frac{-4sin\frac{2\pi }{3}\cdot \frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{3})}{-(x-\frac{\pi}{3})}=2sin\frac{2\pi}{3}=2\cdot \frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$

$sin \alpha \approx \alpha \; \; pri\; \; \alpha \to 0$

$cos \alpha -cos \beta =-2sin\frac{ \alpha + \beta }{2}\cdot sin\frac{ \alpha - \beta }{2}$

2 способ. Правило Лопиталя.

$...=lim\frac{(2cosx-1)'}{(sin(\frac{\pi}{3}-x))'}=lim_{x\to \frac{\pi}{3}}\frac{-2sinx}{-cos(\frac{\pi}{3}-x)}=\frac{2sin\frac{\pi}{3}}{cos0}=\frac{2\frac{\sqrt3}{2}}{1}=\sqrt3$

Question 3

а вот в знаменателе сначала было sin(п\3-х), а потом просто п\3-х, это как так получилось?

Question 4

Замена бесконечно малой sina(a-->0) на эквивалентную, на а. sina~a при а-->0

Question 5

а ещё вот во 2 строчке тоже непонятно как получилось sin(x\2+п\6)(х\2-п\6)

Question 6

Применили формулу разности косинусов cosa-cosb=...

Question 7

это понятно получается произведение синусов, а вот дальше -4sin(x\2+п\6)(х\2-п\6) вот тут по какой формуле

Question 8

Опять заменили второй синус на эквивалентную ему величину (его аргумент, так как аргумент стремится к 0)

Question 9

а хорошо, спасибо большое! очень выручили