Решите уравнение tg ^{2}(x+y)+ctg ^{2}(x+y)= \sqrt{ \frac{2x}{ x^{2}+1 }+1 } [/tex](x+...

Question

Решите уравнение tg ^{2}(x+y)+ctg ^{2}(x+y)= \sqrt{ \frac{2x}{ x^{2}+1 }+1 } [/tex](x+ y)+ctg2( x+ y )=.

Comments

Ну спасибо теперь вообще ничего не видно :(

---

А че за универсальная тригонометрическая подстановка?

---

первый раз слышу)

---

да не я просто подумал если x=tg(a/2) то sqrt(2x/x^2+1)=sqrt(sin(a)) но это не сработает

---

Тут наверное что то с областью определения

---

Мне тоже так кажется

---

ты левую часть попробовал упростить

---

Я еажется понял как решается

---

Вы поняли идею?

---

тригонометрическая подстановка: если tg(a/2)=t,то сosa=sqrt(2t/1+t^2) или sina забыл:) но решение от этого не изменится

Answer 1

Заменим  tg(x+y)=t     сtg(x+y)=1/t
а     x=tg(a/2)
Из  универсальной  триг  подстановки  получим:
(t-1/t)^2+2=sqrt(cosa)+1
Левая   часть  всегда   большще  или равно 2
sqrt(cosa)<=1<br>таким  образом   это  возможно  тодько когда
t-1/t=0     t=1/t   t=+-1   tg(x+y)=+-1
то  есть это равносильно системе:
sqrt(2x/x^2+1)=1
tg(x+y)=+-1
Далее  решите  сами
И  в конце   сделайте проверку

Comments

то есть тригонометрическую подстановку можно использовать чтобы показать что sqrt(2x/1+x^2)<=1

---

то естть левая часть всегда более или равна 2 а правая всегда менее или равна 2 тк там еще +1. А тогда равенство возможно когда обе части равны 2

---

там очевидно что x=1 tg(1+y)=+-1 1+y=+-pi/4 +2pi*n

---

y=-1+-pi/4+2pi*n x=1 Это решение

---

кстате есть еще 2 способ как показать что sqrt(2x/1+x^2)<=1 Если поделить на x числитель и знаменатель и преобразовать: sqrt(2/(x+1/x))=sqrt(2/((sqrt(x)-1/sqrt(x))^2+2)<=1