Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см.каковы должны быть их длина чтобы...

Пусть a и b - катеты, с - гипотенуза.
Тогда по условию: a+b=15 => a=15-b
c=√(a²+b²) - по теореме Пифагора
$y= \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ - нужно найти минимум функции
$y= \sqrt{(15-b)^{2}+b^{2}}=\sqrt{225-30b+b^{2}+b^{2}}=\sqrt{225-30b+2b^{2}}$
Для нахождения минимума функции нужно найти ее производную и приравнять к нулю:
$y'=(\sqrt{225-30b+2b^{2}})'= \frac{4b-30}{2\sqrt{225-30b+2b^{2}}}=\frac{2b-15}{\sqrt{225-30b+2b^{2}}}=0$
$2b-15=0$
$b=7.5\ \textgreater \ 0$ - минимум функции, т.к. при переходе через эту точку производная меняет свой знак с минуса на плюс, тогда:
$a=15-b=15-7.5=7.5$

Ответ: катеты должны равнять по 7,5 см., чтобы гипотенуза была наименьшей.