1) Достроим треугольник до треугольника АСМ, добавив равный ему, где АВ=ВМ, СМ=АС. Тогда СМ=АМ=АС, и треугольник АСМ - равносторонний (т.к. АС=2 АВ).
Все углы равностороннего треугольника равны 60º
∠САВ=60º
АЕ- биссектриса, и ∠ САЕ=∠ЕАВ=∠АСЕ=30º , а ∠СВА=180º-(60º+30º)=90º
------------------------------
2) В равнобедренном треугольнике АЕС ( по условию)
проведем высоту ( медиану) ЕН.
АН=НС=АВ
В треугольниках ЕАН и ЕАВ
∠НАЕ=∠ЕАВ по условию
АН=АВ
сторона АЕ - общая
Треугольники НАЕ и ЕАВ равны по первому признаку.
∠ ЕНА= ∠ЕНС=90º по построению
Отсюда угол АВЕ=АНЕ=90º
Треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом В
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º
∠ ЕАС=∠ЕСА ⇒
Так как АЕ биссектриса ∠ВАС, то ∠ВАС=2∠АСВ
∠ АСВ+∠САМ= 3 ∠ АСВ
∠ АСВ=90º:3=30º
∠ САВ=2∠САВ=60º
-------------------------------
3)
АЕ=СЕ, следовательно, треугольник АСЕ - равнобедренный, угол САЕ=АСЕ. Достроим треугольник АВС равным ему, где боковая сторона равна АС, а основание равно АВ.
Тогда в нем АЕ=ЕС, и ЕС является биссектрисой угла С.
В новом треугольнике биссектрисы точкой пересечения делятся на равные части ( считая от вершин).
АВ=1/2АС, а основание нового треугольника равно АС, боковые стороны тоже в нем равны.
Так как АС=2АВ, ∠ АСВ=30°, отсюда ∠ВАС=60°.
Треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом В.