В сферу радиусом √66 вписана правильная треугольная пирамида DABC(D-вершина) длина...

Question

41 просмотров

В сферу радиусом √66 вписана правильная треугольная пирамида DABC(D-вершина) длина апофемы которой относится к длине высоты как 3:2 √2 Найдите наименьшую площадь сечения пирамиды плоскостью проходящей через вершину пирамиды середину стороны АС и пересекающей сторону ВС и рисунок

Геометрия Alinakulikova9_zn (20 баллов) 19 Март, 18 | 41 просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Положим что вершина равна $S$ , $SABCD$ правильная пирамида .
$ABC$ правильный треугольник , тогда обозначим $M$ -середину стороны $AC$ . $N \in BC$
Получим сечение $SMN$ .
Положим что угол    $SCE$ равен $\alpha=a$
$SE$ - апофема.
$BC=a\\ R=\sqrt{66}\\$
Из прямоугольного треугольника $SEC\\ SC=\frac{a}{2sina}\\ SE=\sqrt{\frac{a^2}{4sin^2a}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a*ctga}{2}\\$
$O$ центра вписанной окружности в основание $ABC$ , тогда по формуле $OE=r=\frac{\sqrt{3}a}{6}$
$OB=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .
Высота пирамиды $SO$ совпадает с центром вписанной окружности
$SH = \sqrt{\frac{a^2*ctg^2a}{4} - \frac{3*a^2}{36}} = \frac{a\sqrt{9*ctg^2a-3}}{6}$
По условию
$\frac{SE}{SO}=\frac{3}{2\sqrt{2}}$
$\frac{ \frac{a*ctga}{2} }{ \frac{a \sqrt{9 ctg^2a-3}}{6}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} \\\\ a=\frac{\pi}{6}+\pi\*n n\inN$
То есть это Тетраэдр.
Из радиус сферы получим по теореме Пифагора
$(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2+(\sqrt{\frac{2}{3}}*a-\sqrt{66})^2=\sqrt{66}^2\\ \frac{3a^2}{9}+\frac{2a^2}{3}-2a\sqrt{44}=0\\\\ 9a^2=18a\sqrt{44}\\\\ a=4\sqrt{11}$
Все грани равны $a=4\sqrt{11}$
Положим что $CN=x\\$
Тогда по теореме косинусов получим
$ME=\sqrt{x^2-2x\sqrt{11}+44}\\ SM=\sqrt{(4\sqrt{11})^2-\frac{2\sqrt{11}}{2}^2} = 2\sqrt{33}\\ SN=\sqrt{x^2-4x\sqrt{11}+176}$
Зная все стороны найдем угол    $SMN$ по теореме косинусов , затем выражая синус через косинус получим
$sinSMN = \sqrt{1-\frac{x^2}{12(x^2-2\sqrt{11}x+44}}}$

Площадь сечения тогда равна
$S_{SMN}=\frac{\sqrt{x^2-2x\sqrt{11}+44}*\sqrt{33}*\sqrt{1-\frac{x^2}{12(x^2-2\sqrt{11}x+44}} }{2}\\ S_{SMN}=\frac{\sqrt{121x^2-264\sqrt{11}x+5808}}{2}$
У этой функций минимум находится в точке
$x=\frac{12}{\sqrt{11}}$
$S_{SMN}=4\sqrt{66}$

Матов_zn (224k баллов) 19 Март, 18