Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус, параллельна плоскости основания конуса, делит объем конуса пополам. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.
Если радиус шара R, высота конуса H, то угол в осевом сечении равен углу между радиусом, проведенным в (любую) точку окружности основания с высотой. Потому что это центральный угол половины дуги, на которую опирается угол при вершине осевого сечения. То есть cos(α) = (H-R)/R;
Остается принять R = 1; и по условию (R/H)^3 = 1/2
cos(α) = p - 1; p - кубический корень из 2
это очень близко к 75°, приближенно 74,9346224218727°
А:))) у меня почему-то про описанную сферу, а не вписанную :) бывает
для вписанной H/(H-r) = p; то есть r/H = (p-1)/p; а sin(α/2) = r/(H-r) = (r/H)*(H/(H-r)) = p - 1; cos(α) = 1 - 2*sin(α/2) = 1 - 2*(p-1)^2; это всё
cos(α) = 1 - 2*(sin(α/2))^2; конечно
30,1307551562545° если я опять не ошибся нигде :(((
По условию плоскость шара делит объем конуса в отношении 1:1. Она отмечена красной линией. Это значит, что объем всего конуса относится к объему конуса, образованного этой плоскостью как 2/1. Объемы подобных фигур соотносятся как куб коэффициента их подобия. То есть, чтобы перейти к линейным размерам, нужно взять кубический корень нашего отношения. Нас интересует отношение высоты маленького конуса(зеленая) к большой высоте (зеленая+синяя). Получится: Теперь мы знаем как они соотносятся. Нас спрашивают про угол. На моем чертеже это угол альфа, но это только половина искомого. Нетрудно заметить, что его tg=. В цифрах это . Это только половинный угол. Вам нужно сделать его двойным. Делается это по формуле тангенса двойного угла. Число получилось следующее:. Вам нужен теперь арктангенс этого угла. Это и будет ответом.