1.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.y^2=x^3 и y=1 И осью OY2.При каком...

1) Площадь фигуры находится с помощью интеграла.
$y^{2}=x^{3}, y=x^{1.5}$
Определим вначале пределы интегрирования - т.е. точки пересечения графиков:
$x^{1.5}=1, x=1$ - это верхний предел. Нижний предел x=0 (т.к. в образовании фигуры участвует ось Оу).
$S= \int\limits^1_0 {(1-x^{1.5})} \, dx = x- \frac{x^{2.5}}{2.5} |^{1}_{0}=1- \frac{2}{5}= \frac{3}{5}$ - чтобы определить, от какого выражения брать интеграл, нужно из "верхней" функции (по графическому расположению) вычесть "нижнюю" функцию.

2) Возьмем производную:
$y'= \frac{2}{3} *3x^{2}-2ax+a=2x^{2}-2ax+a$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, необходимо чтобы ее производная была неотрицательна при любом х.
$2x^{2}-2ax+a \geq 0$ при любом х
Парабола ветвями вверх, чтобы она была не ниже оси Ох, дискриминант должен быть неположительным: D ≤ 0
$D=8a^{2}-8a \leq 0$
$8a(a-1) \leq 1$
$0 \leq a \leq 1$
Наибольшее значение а из данного промежутка: a=1