В эллипсе вписать прямоугольник со сторонами,параллельными осям эллипса,площадь которого...

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , пусть $(x';y')$ координаты вершины $A$ , прямоугольника $ABCD$ .
Если прямоугольник вписан в эллипс , то выполняется условие
$\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1\\ x'^2b^2+a^2y'^2=a^2b^2\\ y'^2=\frac{a^2b^2-x'^2b^2}{a^2}\\$
Тогда площадь прямоугольника равна $S=2x'*2y'=4x'y'$ это не производные .
$x'=x\\ y'=y\\\\ S=4xy\\ y^2=\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}\\\\ S=4*\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x$
Теперь рассмотрим данную функцию очевидно что

b>y>x>0" alt="a>b>y>x>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> .
Найдем производную
$S'=4*\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x \\ S'=\frac{ (8x^2-4a^2) * \sqrt{a^2b^2-b^2x^2} }{ax^2-a^3}\\ S'=0\\ 8x^2=4a^2\\ x= \frac{a}{\sqrt{2}}\\ a^2b^2 \geq b^2x^2\\ a^2 \geq x^2 \\ a \neq x\\$
То есть одна сторона прямоугольника равна $2*\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}*a\\$
тогда другая $\sqrt{2}b$ .
То есть самая наибольшая площадь которую можно вписать в данный эллипс равен
$S=2ab$