Очень нужна помощь! Заранее спасибо.Кто ответит, тому 112 баллов.Внутри треугольника ABC...

Question

Очень нужна помощь! Заранее спасибо.Кто ответит, тому 112 баллов.
Внутри треугольника ABC взята точка M, через которую проведены прямые, параллельные всем его сторонам. Площади трех образовавшихся треугольников с общей вершиной M равны S1, S2, S3. Найдите площадь треугольника ABC.

Answer 1

Назовем треугольники W1, W2, W3.
а параллелограммы на вертикальных углах I, II,  III соответственно.
пусть при вершине М - углы в W1 и I = альфа; W2 и II = бета; W3 и III = гамма

Пусть вершины треугольника W1 буду MEF, W2 MGH, W3 MPQ
Заметим, что треугольники W1, W2, W3 подобны, тк все три угла у них равны

Запишем площади W1, W2, W3, I,II,III
S1 =
S2 =
S3 =

I =
II =
III=

Запишем отношения

I/S1 =
Аналогично
II/S2 =
III/S3 =

то есть: I = S1*
II = S2*
III = S3*

S(ABC) = S1+S2+S3+I+II+III  обозначим это равенство (!)

Из подобия треугольников W1, W2, W3 получаем:










А теперь если подставить все это счастье в равенство (!), получим

S(ABC) =

то есть

Comments

реально красивая задача:) Respect

Answer 2

Благодаря параллельности прямых, все образовавшиеся треугольники подобны друг другу и исходному ΔАВС (по трём углам).
Обозначим стороны получившихся треугольников, параллельные стороне АС как a, b и с, их площади как S₁, S₂ и S₃ (см. рис. в прикреплённом файле).
Площадь S ΔАВС относится к площади S₁ подобного треугольника, как квадрат отношения соответствующих сторон:
=  =        (1)
Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно корню квадратному из отношений их площадей:
=        (2)
=        (3)
Подставляем (2) и (3) в (1):
= = 
Откуда окончательно получаем:
S =  

---