Шар радиуса sqrt(3) касается всех ребер правильной треугольной пирамиды. Центр шара лежит...

Question

Шар радиуса sqrt(3) касается всех ребер правильной треугольной пирамиды. Центр шара лежит внутри пирамиды на ее высоте на расстоянии 3 от вершины. Найти высоту пирамиды.

Comments

H = 2√((D^2 - R^2)*(R^2 - (H - D)^2)); скобку не туда сунул :) так вот, ЕСЛИ сразу предположить, что это - правильный тетраэдр, то задача решается устно. И гипотеза эта оправдывается. Трудно обосновать ЕДИНСТВЕННОСТЬ решения, но сам ответ находится совершенно элементарно.

---

Я тут уже часто это "прием" показывал. Пусть есть КУБ ABCDA1B1C1D1 c ребром 2√3, в который вписана сфера радиуса √3, касающаяся ВСЕХ ГРАНЕЙ КУБА в их центрах. Тогда фигура с вершинами A1BDC1 - правильный тетраэдр, полностью удовлетворяющий условию. В качестве "вершины" можно принять точку C1. Расстояние от неё до центра сферы равно половине диагонали КУБА, то есть (2√3)*√3/2 = 3; высота же тетраэдра равна 2/3 этой диагонали, то есть 4. Это все. :)

---

Спасибо

---

ой, да не за что :) это я больше для себя - интересно :) есть у меня идея, как применить этот прием для правильной пирамиды общего вида. Но там надо обдумать еще.

---

Тебе нравится геометрия?

---

HR = 2√((D^2 - R^2)*(R^2 - (H - D)^2)); ... торопливость нужна при ловле блох, на бумажке верно ,а набрать без ошибок не могу :))))

---

Дело в том, что можно ввести новые переменные R/D = y; H/D = x; тогда x*y = 2√((1 - y^2)*(y^2 - (x - 1)^2)); ну, дальше ерундовые преобразования дают x^2 - x*8(1-y^2)/(4 - 3y^2) + 4(1-y^2)^2/(4 - 3y^2) = 0; x = 2(1-y^2)/(2 - y√3); это общее решение. В задаче y√3 = 1; откуда x = 4/3; второй корень отброшен, но тут тоже есть вопросики.

---

случай тетраэдра оказывается "избранным" :) рациональное значение x получается, если p = y√3 рационально x = 2(3-p^2/3)/(1 - p) между прочим это означает, что в "скособоченный" куб (все грани ромбы) пирамиду вписать можно, но вписанный шар так не получить - его надо "двигать к основанию" от "центра" (то есть от точки на 3/4 высоты от вершины). Интересно, сможет ли кто-то понять это бред? :)))))

---

x = 2(1-p^2/3)/(1 - p)

---

все время небрежно печатаю, безобразие.

Answer 1

Решение будет без рисунка, но объяснять буду подробно, так что сделать рисунок самостоятельно будет не сложно.
Итак, дана SABC- правильная треугольная пирамида, АВС- основание, правильный треугольник. SH- высота пирамиды, точка О- центр шара который касается всех РЕБЕР нашей пирамиды и принадлежит высоте SН, SO=3, а радиус шара R=√3. Итак, поехали) 
1) Проведем радиусы ОР, к точке касания Р со стороной SC и ОК, к точке касания К со стороной АС, по свойству радиуса и касательной они (радиусы и стороны) будут перпендикулярны.
2) Рассмотрим ∆SHC, он прямоугольный, ОР┴SC, SO=3, OP=R=√3, по т. Пифагора SP=√6, ∆SHC~∆SОР (по 3-м углам).
3) Пусть ОН=х, тогда из прямоугольного ∆ОКН, по т. Пифагора НК=√(3-х^2), а значит СН=2√(3-х^2)
4) Из подобия треугольников ∆SHC~∆SОР, составим пропорцию: ОP/HC=SP/SH, 
√3/(2√(3-х^2))=√6/(x+3), 3/(4(3-х^2))=6/(x+3)^2, 3/(12-4х^2)=6/(x^2+6x+9), 3(x^2+6x+9)=6(12-4х^2), 3x^2+18x+27=72-24х^2, 3x^2+2x-5=0, x= 1, SO=3+1=4

Comments

Спасибо