Треугольник АВС, точка М внутри треугольника.
Продолжим BM до
пересечения со стороной AC в точке N.
ТогдаAB+AN > BN=BM+MN
MN+NC>MC.
Сложив
почленно эти неравенства, получим:
AB+AN+NC+MN > MN+BM+MC,илиAB+AC+MN > BM+MC+MN.
Отсюда
следует, что
AB+AC > BM+MC.
Исходя из этогои следует, что для точки M , лежащей внутри треугольника
ABC, верны неравенства:
MB+MC < AB+AC,
MB+MA < AC+BC,
MA+MC
< AB+BC.
Сложив
их почленно, получим
2(MA+MB+MC)<2(AB+BC+AC).
Отсюда следует, что указанная сумма расстояний меньше периметра
треугольника: (MA+MB+MC)<Р. <br>Применяя неравенство треугольника к треугольникам
AMC, BMC и
AMB, получимAM+MC>AC,
BM+MC > BC
AM+MB > AB,
Сложив их почленно, получим:
Откуда 2(AM+BM+CM)>(AB+AC+BC).
AM+BM+CM>1/2(AB+AC+BC).
Указанная сумма расстояний больше полупериметра треугольника:
AM+BM+CM>1/2Р