Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство ах в квадрате -4х+3а+1>0...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

0" alt="ax^2-4x+3a+1>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
Отдельный случай
$a=0$ квадратное неравенство вырождается в линейное

0" alt="-4x+1>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

4x" alt="1>4x" align="absmiddle" class="latex-formula">
$4x<1$
$x<0.25$
а значит выполняется для всех $x<0$
Пусть теперь
$a \neq 0$
квадратное неравенство, чтоб оно выполнялось
нужно чтоб ветви параболы были направлены верх
(очевидно если ветви будут вниз то найдется гдето точка ближе к минус бесконечности так точно для которой значение функции задающей л.ч неравенства будет отрицательно, так как в случае ветвей вниз, только ограниченная часть параболы находится выше оси абсцис)

итак имеем первое необходимое условие

0" alt="a>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

дальше два случая
первый случай - если корней нет ( $D<0$ ) - отлично, график параболы выше оси Ох - неравенство выполняется

0; D<0" alt="a>0; D<0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0; (-4)^2-4a(3a+1)<0" alt="a>0; (-4)^2-4a(3a+1)<0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="a>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
$4*4-4(3a^2+a)<0$
$4-3a^2-a<0$

0" alt="3a^2+a-4>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="(3a+4)(a-1)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
УчитЫвая второе условие

0->3a+4>0" alt="a>0->3a+4>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> авмтоматически
и необходимо вЫполнение неравенства

0" alt="a-1>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> или

1" alt="a>1" align="absmiddle" class="latex-formula">

теперь рассмотрим второй случай

0" alt="a>0" align="absmiddle" class="latex-formula"> -
когда есть корни -точки пересечения с осью абсцисс - необходимо чтоб левый(меньшее число) (или единственный --одинаковый) корень лежал правее 0 (или равнялся 0)[/tex]
итого

0;D \geq 0; 0 \leq x_10;D \geq 0; 0 \leq x_1;

0; (3a+4)(a-1) \geq 0; 0\leq \frac{4-2\sqrt{(3a+4)(a-1)}}{2a}" alt="a>0; (3a+4)(a-1) \geq 0; 0\leq \frac{4-2\sqrt{(3a+4)(a-1)}}{2a}" align="absmiddle" class="latex-formula">
$0<a \leq 1;$ - с первых двух неравенств (аналогично по рассуждениям относительно первого случая)
$2\geq \sqrt{3a^2+a-4}$

3a^2+a-4" alt="4>3a^2+a-4" align="absmiddle" class="latex-formula">
$3a^2+a-8<0$ - что очевидно верно при условиях $0 < a \leq 1$
обьединяя все
получаем что данное неравенство верно при
а є $[0;+\infty)$

dtnth_zn (407k баллов) 19 Март, 18