У трикутнику ABC, один з кутів якого дорівнює 48 градусів, довжини сторін задовольняють...

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Вчера по этой идее решал но ошибся в вычислениях
0\\ c=\sqrt{a^2+ab}>0 " alt="(a-c)(a+c)^2+bc(a+c)=ab^2\\ (a^2-c^2)(a+c)+bc(a+c)=ab^2\\ (a+c)(a^2-c^2+bc)=ab^2\\ (c-b+a)(a^2+ab-c^2)=0 \\\\ c=b-a>0\\ c=\sqrt{a^2+ab}>0 " align="absmiddle" class="latex-formula">
$1)c=b-a\\ 2)c=\sqr{a^2+ab}$
Рассмотрим случаи , когда угол $48а$ лежит против стороны $c$
По теореме косинусов
$c^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\\\$
Положим первое равенство, с выражения $c=b-a$ , получим
$b^2-2ab+a^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\ 2ab(cos48-1)=0\\ a \neq 0\\ b \neq 0\\ cos48 \neq 1$
не подходит    $2$ случаи
c\\ a+c>b\\ b+c>a\\ " alt="a^2+ab=a^2+b^2-2ab*cos48\\ ab=b^2-2ab*cos48\\ a=b-2a*cos48\\ b=a(1+2cos48)\\ c=\sqrt{a^2+a*a(1+2cos48)}=2a*cos24\\\\ a+b>c\\ a+c>b\\ b+c>a\\ " align="absmiddle" class="latex-formula"> при этом неравенство выполняется
По теореме синусов
$\frac{2a*cos24а}{sin84а}=\frac{a}{sinb}\\ b=arcsin(\frac{sin48а}{2cos24а})=24а\\\\$
третий угол $180-24-48=108$ всего
$24;108;48$

Положим что $48а$ лежит против стороны $b$
$a^2=a^2+c^2-2ac*cos48\\ b^2=2a^2+ab-2a*\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b^2-ab=2a^2-2a\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b=a+2a*cos96 \\ c=2a*cos48\\\\ \frac{a}{sin48} = \frac{a+2a*cos96}{sinb}\\ b=36а$
$36;48;96$

Положим что против стороны $a$
  c\\ b+c>a\\ a+c>b" alt="a^2=b^2+c^2-2bc*cos48\\ a^2=b^2+a^2+ab-2b\sqrt{a^2+ab}*cos48 \\ b=2acos96+a\\ c=2a*cos48\\\\ a+b>c\\ b+c>a\\ a+c>b" align="absmiddle" class="latex-formula">
при это неравенство треугольников , выполняется

$\frac{1}{sin48} = \frac{2cos96+1}{sinb}\\ b=arcsin((2cos96+1)*sin48)=36а$
$180-36-48=96$

Матов_zn (224k баллов) 19 Март, 18

mathgenius_zn · Answer 1 · 2018-03-19T02:11:18+0000

Заменим для удобства a+c=t
(a-c)*t^2+bc*t-ab^2=0
Решим уравнение относительно t:
D=b^2*c^2+4(a-c)*ab^2=b^2c^2+4*a^2*b^2-4cab^2 можно заметить что это полный квадрат:
D=(2ab-bc)^2
но в любом случае
t=(-bc+-|2ab-bc|)/2(a-c)
с каким бы знаком не раскрылся модуль в силу симетрии знаков +- перед модулем то в любом случае будет только 2 одних и тех же решения:
t=(-bc+-(2ab-bc))/(2(a-c)

1)t=(2ab-2bc)/2(a-c)=b
a+c=b ,но по неравенству треугольника это невозможно.
2) t=(-bc-2ab+bc)/(2(a-c)
a+c=ab/(c-a) Откуда ярко видно что с>a
c^2-a^2=ab
Запишем теорему косинусов:
a^2+b^2-2ab*cosA=c^2
b^2-2ab*cosA=c^2-a^2=ab
b-2a*cosA=a b=a+2a*cosA b=a(1+2cosA) cosA=(b-a)/2a=b/2a -1/2
c^2+b^2-2bc*cosB=a^2
с^2-a^2=2bc*cosB-b^2
ab=2bc*cosB-b^2
a=2с*сosB-b
сosB=(a+b)/2c
c=sqrt(ab+a^2)
cosB=(a+b)/(2sqrt(ab+a^2)
cos^2B= (a+b)^2/4(ab+a^2)=(a+b)^2/4(a+b)a=(a+b)/4a=b/4a+1/4
2*cos^2B=b/2a +1/2
cosA=b/2a -1/2
Вычетая поочленно получим:
2*сos^2B-cosA=1
cosA=2*cos^2B-1=cos2B
сosA=cos2B (но тк это углы треугольника),то
A=2B
Один из углов 48
Тогда рассмотрим 3 варианта
1)48+3x=180
x=44
Искомые углы:48,44,88
2)48+96+x=180
Углы 48,96,36
3)24+48+x=180
Углы 24,48,108
Теперь самое сложное нужно понять какой из этих вариантов подходит
второй вариант не подходит тк в нем второй угол тупой
CosB=96<0<br>но (a+b)/2c>0 ,то есть такое невозможно
Насчет того 1 или второй вариант пока не знаю. Потом подумаю
Пока предварительно ответ таков: или 48,44,88 или 24,48,108 не исключено что оба варианта подходят
Да думаю что скорее всего оба