Упростите выражение sinx+sin2x+sin3x+sin4x

Перегруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов
$(sinx + sin 4x) + (sin 2x + sin 3x)= \\ =2 sin ( \frac{x+4x}{2} )\cdot cos ( \frac{x-4x}{2})+2 sin( \frac{2x+3x}{2}) cos( \frac{2x-3x}{2} )= \\ =2sin( \frac{5x}{2} )\cdot (cos ( \frac{3x}{2})+cos( \frac{x}{2}))$
Функция косинус чётная и поэтому сos(-3x/2)=cos(3x/2) и cos(-х/2)= сos (x/2)

Сумму косинусов заменим по формуле:
=2 sin (5x/2)·(-2)·sin ( (3x/2 +x/2)/2 )·sin ( (3x/2 - x/2)/2)=
= - 4· sin (5x/2)·sin (x )·sin (x/2)