Осмелюсь добавить свой вариант:
Площадь треугольника MNP равна 0,5*NM*LH, гле LH - высота ромба KLMN. (Доказывать, что это ромб, надеюсь, не надо?) Заметим, что эта площадь не зависит от расположения точки Р на отрезке KL. Итак, необходимо найти высоту ромба. Пусть половина стороны АВ (CD) = х. Тогда половина стороны ВС (AD) = 2*х. Площадь прямоугольника АВСD = АВ*AD=2х*4х=8х². Сторона ромба находится по Пифагору и равна √(4х²+х²) = х√5. Площади треугольников АКN,KBL,LCM и MDN равны между собой и равны 0,5*х*2х =х². Тогда их суммарная площадь равна 4х². Площадь ромба KLMN равна разности площадей прямоугольника и четырех треугольников, то есть равна 8х²-4х²=4х². Значит его (ромба) высота равна площади, деленной на сторону, то есть 4х²/(х√5) = (4х)/√5. Тогда площадь треугольника MNP = 0,5*NM*LH = 0,5*х√5*(4х)/√5 = 2*х². Или 32=2х², откуда х=4. Тогда искомая сторона ВС=4*х = 16.
Второй вариант:
Ход решения тот же самый до нахождения площади ромба. Площадь ромба KLMN равна разности площадей прямоугольника и четырех треугольников, то есть равна 8х²-4х²=4х². Далее : Площадь треугольника MNP равна 0,5*NM*LH, где LH - высота
ромба KLMN. Значит площадь треугольника MNP равна половине площади этого
ромба (которую мы определили), то есть 4х²:2=2х². 2х²=32, откуда х=4, а
ВС=16.
Все.