В выпуклом четырехугольнике АВСД углы ДАС и ДВС равны. Докажите, что углы СДВ и САВ также...

Question

В выпуклом четырехугольнике АВСД углы ДАС и ДВС равны. Докажите, что углы СДВ и САВ также равны.

Answer 1

Вариант решения.
Обоозначим точку пересечения DВ и АС буквой О.
Рассмотрим треугольники АОD и ВОС.
Они подобны. В них имеются два равных угла ( кроме DАС=DВС равны и вертикальные углы при О.)
(I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.)
Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны.  DО:ОС=АО:ОВ. 
В треугольниках DОС и АОВ вертикальные углы при О равны, стороны одного треугольника, содержащие этот угол,  пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника. Эти треугольники подобны.
(III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами,  равны, то такие треугольники подобны). 
Следовательно, СD:АВ=DО:ОА, 
И углы СДВ и САВ, заключенные между пропорциональными сторонами этих треугольников,  равны.
-----
[email protected]

Comments

Поскольку треугольники ADC и DCB на одну и туже cторону и имеют равные углы при вершинах,то вписаны в одну и туже окружность,а соответснно,те другие 2 угла тоже равны как вписанные,вот и все!

---

Ну да. Вы дали то же решение, что у Cos20093. Только сжатое. Поскольку нам не известно, на какую тему дана задача, ( о вписанных углах или о подобии треугольников) второе решение имеет право на существование. Иначе его и не стоило бы давать, - решения Cos20093 более чем достаточно.

---

А мне откуда это знать

---

А я этим и не заморачиваюсь - просто решаю, что интересно и как интересно :). Вот взять моё решение (ну само собой, это не та задача, которой я буду сильно гордиться :), проще говоря - элементарная задачка). Если формулировать его так, как оно возникло в голове, то A и B с одной стороны CD, ГМТ точек, из которых отрезок CD виден под одним углом - дуга окружности CAD.

---

Дальше уже и пояснять не надо ничего ,всё ясно. Но раз автор не может решить - он не знает НИЧЕГО из перечисленного - что такое ГМТ, почему окружность, наверняка не знает (как следует) про вписанные углы, про внешний угол треугольника, Вот тут начинается байда. Мне эта "задача" на "один чих" не тянет, но надо так изложить решение, чтобы автор понял суть. При этом ОЧЕНЬ НЕ ХОЧЕТСЯ, чтобы он тупо переписал все в тетрадь и сдал. Вот я и пользуюсь случаем "литературного экскурса в теорию".

Answer 2

На самом деле в условии неявно предполагается, что точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой CD. В противном случае это не так :).
Я в решении этим пользуюсь.
Все точки, из которых отрезок DC виден под тем же углом, что и из точки А, лежат на дуге CAD окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Доказать это очень просто - если точка B лежит где то в другом месте (в одной полуплоскости с точкой A), то прямая DB или прямая CB пересекает дугу CAD (пересекать дугу могут и обе прямые, но важно именно то, что одна прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пересекает дугу), и из точки пересечения B1 хорда видна под тем же углом, то есть получается треугольник BB1C (или BB1D, берется именно та прямая, которая пересекает дугу CAD), у которого внешний угол равен внутреннему. Чего быть не может :).
Поэтому четырехугольник ABCD вписанный, и углы CDB и CAB опираются на дугу CB. Поэтому они равны. 

Comments

Ваша задача решается в 1 строчку если около 4 угольника описать окружность,

---

Строго доказать что они вписаны в 1 окружность можно методом от противного,через сумму углов треугольника

---

Вообще то я и доказал в одну строку :) Это же "экскурс" в теорию :)

---

Простите я не вникал в суть вашего доказательства,теперь я понял что это одно и тоже.

---

Я скорее обращался к другому решающему

---

Есть еще похожая интересная задача:В треугольнике опустили все 3 высоты,из оснований этих высот образовали новый треугольник. Нужно найти углы этого треугольника,зная углы заданного.Большенство людей решают задачу через подобие,но есть более логичный способ через описанную окружность

---

То есть описать окружность около любого 4 угольника,образованного прямоугольными треугольниками

---

Про ортотреугольник существует куча задач. Его описанная окружность - это окружность Эйлера, или 9 точек. Сами высоты исходного треугольника в нем - биссектрисы. А вообще любой "продвинутый" учебник уделяет ему много внимания. Самый распространенный в интернете - учебник Понарина.