В прямоугольном треугольнике с катетами 9 и 12 через центр вписанной окружности проведена...

Question

В прямоугольном треугольнике с катетами 9 и 12 через центр вписанной окружности проведена прямая, параллельная гипотенузе. Она пересекает катеты в точках А₁ и B₁. Найти длину отрезка A₁B₁/

Answer 1

Гипотенуза равна по Пифагору √(12²+9²) =15. Радиус вписанной окружности равен r=√(p-a)(p-b)(p-c)/p, где р - полупериметр треугольника. Значит r=√(6*3*9/18) = 3. Треугольник А1ОD подобен треугольнику  АВС, так как А1О параллельна АВ, а ОD (радиус) параллельна СВ. Тогда A1D/AC=DO/CB или А1D/12=3/9, откуда А1D равна 4.
Итак, СА1=СD+DA1= 3+4=7. Треугольники АВС и А1В1С подобны, значит А1В1/АВ=СА1/СА или А1В1/15=7/12, откуда А1В1=8,75.