A)
Две точки движутся с постоянными скоростями по
отрезку: одна проходит отрезок за 17 сек, другая — за 41 сек. Дойдя до одного
из концов отрезка, точка сразу начинает двигаться обратно. Точки стартовали
одновременно из одного и того же конца отрезка. Через какое время после старта
случится их 1001-ая встреча?
Б)
Незнайка написал на доске девять натуральных чисел
(среди которых могут быть и одинаковые). Винтик говорит, что сумма каких-то
двух из этих чисел равна сумме остальных семи, Шпунтик утверждает, что сумма
каких-то трех из этих чисел равна сумме остальных шести, а Знайки настаивает, что
сумма каких-то четырех из этих чисел равна сумме остальных пяти. Могут ли все
трое оказаться правы?
б) (8-9). Незнайка написал на доске 2014 натуральных
чисел (среди которых могут быть и одинаковые). Могло ли случаться, что для
каждого натурального k от 2 до 2012 среди написанных чисел найдутся k таких,
сумма которых равна половине суммы всех 2014 чисел?
в) (10) При каких натуральных m > 4
можно записать на доске m натуральных
чисел (среди которых могут быть и одинаковые) таким образом, чтобы для каждого
натурального k от 2 до m–2 среди написанных чисел существовали k таких,
сумма которых равна половине суммы всех m чисел?