Центр О вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
Проведем радиусы в точки касания вписанной окружности с катетами. Они перпендикулярны касательным (катетам) в точках касания М и Р. Проведем биссектрису ВК угла В, которая проходит через центр вписанной окружности О. СРОМ - квадрат. ОР=ОМ=СМ=4.Тогда из подобия треугольников ОМВ и КРО имеем: ВМ/ОР=ОМ/КР или 8/4=4/КР, откуда КР=16/8=2. Тогда КС=КР+РС=2+4=6. Тангенс угла КВС равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть КС/СВ=6/12=1/2. В тригонометрии есть формула: Tg2α=2tgα/(1-tg²α). В нашем случае tg2α=1/(3/4)=4/3. Угол В треугольника равен 2α, так как ВК - биссектриса. В треугольнике АВС tgB = AC/СВ, отсюда АС=СВ*tgα = 12*(4/3)=16.
Тогда АК=АС-КС=16-6=10.
Ответ: АК=10.