Теорема. Отношение изоморфизма между частично упорядоченными множествами является...

0 голосов
27 просмотров
Теорема. Отношение изоморфизма между частично упорядоченными множествами является отношением эквивалентности. Нужно доказать.
Во всех книгах указанно, что это очевидно, но для меня не очень... помогите

Алгебра (23 баллов) | 27 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

Хоть бы определение привели (бог с ним, что вопрос в категории "алгебра 5-9"). Изоморфизм тут означает биективное отображение, сохраняющее порядок? Если так, то отношение изоморфизма:
1) рефлексивно:  в качестве изоморфизма можно взять тождественное отображение
2) симметрично: если есть биекция A -> B, то обратное отображение B -> A (оно существует, т.к. прямое - биекция) будет сохранять порядок:
3) транзитивно: если есть биекция f: A -> B, биекция g: B -> C (обе сохраняют порядок), то gf: A -> C - биекция и сохраняет порядок.

Пародии на доказательства:
2) для всех x, y из A x <= y <-> f(x) <= f(y), тогда для всех u, v из B u <= v <-> f-1(u)<=f-1(v)<br>(От противного: пусть не так. Обозначим f-1(u)=x и f-1(v)=y и получим противоречие с первым неравенством).
3) для всех x, y из A x <= y <-> f(x) <= f(y), для всех u, v из B u <= v <-> g(u)<=g(v)<br>x <= y <-> f(x) <= f(y) <-> gf(x) <= gf(y)<br>

(148k баллов)