1. Точка М находиться за плоскостью квадрата с диагональю 12 см и отдалена от всех вершин...

Question

1. Точка М находиться за плоскостью квадрата с диагональю 12 см и отдалена от всех вершин на 10 см. Чему равно расстояние от точки М до плоскости квадрата?

2. При каком значении n вектор а(n; 2; 0,5) и вектор b (5; -2; -2) перпендикулярные?

3. Периметр основы правильной четырехугольной пирамиды = 1м, апофема - 0,25м. Чему равна площадь боковой поверхности пирамиды?

Answer 1

1) Рисуем пирамиду. В основании квадрат. Вершина М. Проекция вершины точка О- точка пересечения диагоналей квадрата. Тогда проекции отрезков АМ,ВМ,СМ и ДМ равны, как половинки равных диагоналей АО=ОВ=ОС=ОД. Значит и отрезки АМ,ВМ,СМ,ДМ равны. Точка М равноудалена от вершин квадрата
Из прямоугольного треугольника АМО по теореме Пифагора МО²=АМ²-АО²
Ответ МО=8

2) векторы перпендикулярны если их скалярное произведение равно нулю. Векторы заданы координатами. Скалярное произведение равно сумме произведений попарных координат
n·5+2·(-2)+0,5·(-2)=0
5n-4-1=0
5n=5
n=1

3) Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды состоит из площадей четырех треугольников. В основании пирамиды лежит квадрат, обозначим его сторону х м, периметр квадрата  по условию равен 1 м, значит 4х=1, х=0,25 м
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту (апофему)
Таких треугольников 4
Итак, боковая поверхность равна 4· 1/2· 0,25 ·0,25 (кв. м)=0,125 кв м