В четырехугольник,стороны которого 4,3,2,1, вписана окружность и около него описана...

Четырехугольник описанный вокруг окружанности тогда и только тогда когда суммы противоположных его сторон равны,
так как очевидно 2+3=1+4
то
2 и3, 1 и 4 - пары противоположны сторон
Пусть не ограничивая общности a=1,b=2,c=4, d=3

Так как четырехугольник описанный - он выпуклый.
По первой и второй теореме Птолемея для вписанного четырехугольника
$ef=ac+bd=1*4+2*3=4+6=10$
$\frac{e}{f}=\frac{ab+dc}{ad+bc}=\frac{1*2+3*4}{1*3+2*4}=\frac{14}{9}$
$e=\frac{14}{9}f$
$f=\frac{9}{14}e$ - меньшая диагональ
$\frac{9}{14}f^2=10$
$f^2=\frac{140}{9}$
0; f=\frac{2}{3}\sqrt{35}" alt="f>0; f=\frac{2}{3}\sqrt{35}" align="absmiddle" class="latex-formula">