Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Глава 5. Решение треугольников
5.1. Прямоугольный треугольник
Аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. До сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
1
Рисунок 5.1.1.
Прямоугольный треугольник.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Пусть угол (BAC) – искомый острый угол. Так, например, для угла BAC (рис. 5.1.1)
Теорема 5.1.
Косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.
Доказательство
Пусть ABC и A1B1C1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах A и A1, равным α . Построим треугольник AB2C2, равный треугольнику A1B1C1, как показано на рис. 5.1.2. Это возможно по аксиоме 4.1. Так как углы A и A1 равны, то B2 лежит на прямой AB. Прямые BC и B2C2 перпендикулярны прямой AC, и по следствию 3.1 они параллельны. По теореме 4.13
2
Рисунок 5.1.2.
К теореме 5.1.
Но по построению AC2 = A1C1; AB2 = A1B1, следовательно,
Что и требовалось доказать.
Теорема 5.2.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Модель 5.2. Доказательство теоремы Пифагора.
На рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. BC и AC – его катеты, AB – гипотенуза. По теореме BC2 + AC2 = AB2.
Доказательство
Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C.
3
Рисунок 5.1.3.
К доказательству теоремы Пифагора.
Проведем высоту CD из вершины C. По определению из треугольника ACD и из треугольника ABC. По теореме 5.1 и, следовательно, . Аналогично из Δ CDB, из Δ ACB, и Отсюда AB · BD = BC2. Складывая полученные равенства и, замечая, что AD + BD = AB, получаем AC2 + BC2 = AB · AD + AB · BD = AB (AD + BD) = AB2. Теорема доказана.
В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Косинус любого острого угла меньше единицы.
Пусть [BC] – перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую a, и A – любая точка этой прямой, отличная от C. Отрезок AB называется наклонной, проведенной из точки B к прямой a. Точка C называется основанием наклонной. Отрезок AC называется проекцией наклонной.
С помощью теоремы Пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то
любая наклонная больше перпендикуляра,
равные наклонные имеют равные проекции,
из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. По определению
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла (BAC) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем
Так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла.
4
Рисунок 5.1.4.
Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника, то
катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;
катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;
катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.