y'·cos(x)+y·sin(x) = 2
Для начала решим уравнение без правой части.
y'·cos(x) + y·sin(x) = 0
(dy/dx)·cos(x) = -y·sin(x)
dy/y = -tg(x)dx
∫dy/y = -∫sin(x)dx/cos(x)
∫dy/y = ∫d(cos(x))/cos(x)
ln|y| = ln|cos(x)| + ln|C|
y = C·cos(x)
Для решения уравнения с правой частью воспользуемся методом вариации постоянных.
y = C(x)·cos(x)
y' = C'(x)·cos(x) - C(x)·sin(x)
C'(x)·cos²(x)-C(x)·sin(x)·cos(x) + C(x)·sin(x)·cos(x) = 2
C'(x)·cos²(x) = 2
C'(x) = 2/cos²(x)
C(x) = tg(x) + C
Таким образом, общее решение исходного уравнения y = (tg(x) + C)·cos(x) = sin(x) + C·cos(x)