I asked the director whether he would be able to do it.
Правильный ответ:D.
Перевод предл.: Я спросил директора/режиссёра, сможет ли он сделать это.
Это косвенная речь (indirect speech), тут согласование времён. Переведём сначала предложение в прямую речь (direct speech):
I asked the director: "Will you be able to do it?". Сказуемое asked у нас в прошедшем времени — в Past Simple, поэтому в косвенной речи will становится would.
Whether — это как частичка "ли" в русском языке. Так или иначе, whether является синонимом if, поэтому можно whether заменять на if, если хотите.
Если остались вопросы, обращайтесь.