К проволочному кольцу присоединили проводящие провода.В каком отношении делят точки...

Question

К проволочному кольцу присоединили проводящие провода.В каком отношении делят точки присоединения окружность, если общее сопротивление получившейся цепи в 6.25 раза меньше сопротивления кольца?

Answer 1

Задача сформулирована невнятно. Что значит "сопротивление кольца"? Сопротивление, которое получится, если контакты располагаются в точках, диаметрально противоположных? Или же имеется в виду сопротивление проводника, из которого сделано кольцо? Это не праздный вопрос, потому что эти величины отличаются ровно в два раза. Причем ответ не линейно зависит от величины "сопротивления кольца".

Comments

Пусть "сопротивление кольца" есть R - сопротивление проводника, составляющего кольцо.
Тогда R = ro*C, где ro - удельное сопротивление, C - длина окружности. При подключении контактов к дуге l возникает цепь с параллельными сопротивлениями
R1 = ro*l и R2 = ro*(C-l).
При этом l < C/2.
Сопротивление этой цепи есть R1*R2/(R1+R2) или ro^2*l*(C-l)/(l-l+C) = ro*l*(C-l)/C.
Отношение "сопротивления кольца" к сопртивлению цепи (обозначим его через n = 6,25) суть:

---

n = ro*С/(ro*l*(C-l)/C) = C^2/(l*(C-l)).
Освобождаясь от знаменателя, раскрывая скобки, приводя подобные члены, освобождаясь от коэффициента при старшей степени - это всё алгебраическая мура, на которую жаль выкомаривать пальцы) получаем в итоге квадратное уравнение относительно l вида
l^2 - C*l + C^2/n = 0.
Делим обе части на C^2, чтобы получить уравнение относительно доли подключения к кольцу (l/C), поскольку в задаче требуется получить именно это.
Получаем уравнение вида:

---

(l/C)^2 - (l/C) + 1/n = 0.
Уравнение имеет два корня.
l/C = (1/2)*(1 -+ sqrt (1 - 1/(4n^2)); решение, большее 1/2 отбрасываем, поскольку оно соответствует случаю l > C/2.
Таким образом получаем ответ:
l/C = (1/2)*(1 - sqrt (1 - 1/(4n^2)); подставляя n = 6,25, получаем 0,01. Таким образом, длина дуги, к которой подключены контакты, составляет 1% от длины окружности кольца.