По формулам приведения
sin (3π/2 - x/2)=-cos x/2
название функции меняем потому, что прибавляется 3π/2 к углу (-х/2).
знак минус потому, что угол (3π/2 - х/2) в третьей четверти и синус в третьей четверти имеет знак минус.
Решаем уравнение:
сos x -√3 cos (x/2)+1 = 0
Это уравнение, сводящееся к квадратному, заменим
cos x= 2 cos²(x/2) - 1
2 cos²(x/2) - 1 -√3 cos (x/2)+1 = 0
или
cos(x/2)·(2 cos (x/2) -√3) = 0
Произведение двух множителей равно нулю. когда хотя бы один из множителей равен нулю.
сos (x/2)=0 ⇒ x/2 = π/2 + πk, k∈Z ⇒ x = π + 2π·k, k∈Z
или
2 сos (x/2) -√3 = 0 ⇒ cos (x/2) =√3/2 ⇒ x/2 = ± (π/6) + 2π·n, n∈Z ⇒ x= ±(π/3) + 4π·n, n∈Z
На единичной окружности промежуток [-4π; -5π/2] - четвёртая четверть.
Этому промежутку принадлежит один корень
х= -(π\3) - 4π= - 13π/3
Ответ. Решениями уравнения являются корниx = π + 2π·k, x= ±(π/3) + 4π·n, n, k∈Z
На отрезке [-4π; -5π/2] один корень уравнения х= -13π/3