** сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD выбраны соответственно точки М и N. Прямые BN и...

Question

На сторонах ВС и СD параллелограмма АВСD выбраны соответственно точки М и N. Прямые BN и AM пересекаются в точке К так, что ВК:КN=2:3, СN:ND=2:1. Найти отношение ВМ:МС

Answer 1

Проведем прямую параллельную основаниям далее подобные треугольники.
Все рассуждения на рисунке:
Ответ:6/5

Answer 2

Ну ошибся, бывает :) 
Я тогда напишу здесь то, чем на самом деле занимался. Ошибка оттуда вылезла.
Пусть BM/MC = x;
P - точка пересечения AM и DC; PC/PD =   MC/AD = MC/(BM + MC) = 1/(1 + x);
PD = PC*(1 + x); CD = PC*x; CN = (2/3)*PC*x; PN = PC*(1 + x*2/3);
То есть PN/PC = 1 + x*2/3;
По теореме Менелая (NK/KB)*(BM/MC)*(CP/PN) = 1; 
(3/2)*x/(1 + x*2/3) = 1; x*(3/2 - 2/3) = 1; x = 6/5;

Comments

Я люблю до всего додумываться сам

---

Так мне просто неинтересно было, сама то задача нудная. Там всегда все стандартно - какие-то параллельные, потом пропорции... Мне именно было интересно увязать все в теорему Менелая. А результат меня совсем не интересовал, вот и слажал :))

---

У меня тут уже так было несколько раз, я поэтому редко берусь за простые задачи. Недостаточно мотивации, ну и потеря концентрации,

---

Мне в принципе все эти задачи тоже до лампочки . Это я так от безделия

---

В школе мало дают задач, где надо доказать, что какие-то точки лежат на одной прямой. Поэтому теорема Менелая школьникам неизвестна (или почти неизвестна, бывает, что им дают и Чеву, и Менелая, но самые начальные сведения)

---

Мне эти теоремы знакомы. Но мне больше интересно классическое решение. А в некотрых задачах решить классически не так то просто. Что и делает классический способ более интересным.

---

Вот теорему чевы например. Удобно доказывать через площадь!!!

---

Ну, типа (OA1*OB*sin(a)/2)*... это площадь 3 из 6 треугольников, а другие 3 дают то же самое, только в другом порядке. Да, технически так просто. И такой способ работает для многоугольников с нечетным числом сторон, большим 3.

---

Этот способ не слишком наглядный, если точка пересечения находится вне треугольника.

---

Не, нормальный способ, это я так :) люблю геометрические построения. :) Ну, типа, тут пара окружностей, там секущие, тут параллельные, а вот и ответ сам собой получился :)