На боковых сторонах АВ и СД трапеции авсд взяты точки М и N так что отрезок MN параллелен...

Другое решение , проведем диагональ $BD$ . $x;y$ высота трапеций $MBCN ; AMND$ $z=MN$
Пусть точка $O$ пересечение диагонали с $MN$ . Из подобия треугольников $BOM$ и    $ABD$
$\frac{x}{x+y}= \frac{n}{b}$    $MO=n$
$\frac{y}{x+y}= \frac{z-n}{a}\\$

откуда $x = \frac{y(z-a)}{b-z}$
Так как площади трапеций
$\frac{(a+z)*x}{2} = \frac{k*(z+b)*y}{2}$
то в сумме
$(b+z)*y+(b+z)*k*y=(a+b)(x+y)$
подставляя
$(b+z)*y+(b+z)*k*y=(a+b)(\frac{y(z-a)}{b-z}+y)\\ (b+z)(y+ky) = (a+b)\frac{y(z-a)}{b-z} + y(a+b)\\ (b^2-z^2)(k+1)=(a+b)(z-a)+(a+b)(b-z)\\ (b^2-z^2)(k+1)=b^2-a^2\\ b^2-z^2=\frac{b^2-a^2}{k+1}\\ z= \sqrt{\frac{b^2k+a^2}{k+1}}$

Дана трапеция АВСD, ВС=а и АD=b, а < b, продолжим боковые стороны до пересечения в точке К. Получим 3 подобных треугольника КВС, КМN, KAD ( по 3 углам). Примем MN=x. Так как полощади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров имеем: S(КВС):S(KMN):S(KAD)=a²:x²:b²<br>S(BCMN)=S(KMN)-S(KBC)
S(AMND)=S(KAD)-S(KMN)
Значит
S(BCMN)/S(AMND)=(x²-a²)/(b²-x²)=k
Отсюда найдем х:
х²-a²=kb²-kx²
x²+kx²=a²+kb²
x²(1+k)=a²+kb²
x²=(a²+kb²)/(1+k)
$x=$ $\sqrt{ \frac{ a^{2}+k b^{2} }{1+k} }$

** боковых сторонах АВ и СД трапеции авсд взяты точки М и N так что отрезок MN параллелен...