1) (Для разнообразия по-другому порешаю, повторяться неохота)
При x >= 6 функция (x - 6)^4 + (x - 4)^4 возрастает, поэтому имеет не более одного корня. Подбором угадываем x = 7.
Сделаем замену y = 10 - x. После замены уравнение перейдёт само в себя, так что при y >= 6 (x <= 4) уравнение опять-таки имеет только одно решение y = 7 (т.е. x = 3).<br>Остается показать, что в промежутке (4, 6) корней нет. Но это сделать несложно: каждое слагаемое не больше 2^4 = 16, так что сумма гарантированно меньше 82.
Ответ. {3, 7}.
2) ОДЗ здесь задает неравенство -x^2 + 3x - 2 > 0, т.е. 1 < x < 2. Поэтому задачу можно переформулировать так:
При каких значениях параметра a уравнение
x^2 - 3ax - 3a - 1 = 0
имеет ровно одно решение на промежутке (1, 2)?
Одно решение может случиться в следующих случаях:
- уравнение вообще имеет одно решение, и оно случайно попало в промежуток.
Для удобства выделим полный квадрат:
x^2 - 3ax + 9a^2/4 = 9a^2/4 + 3a + 1
(x - 3a/2)^2 = (3a/2 + 1)^2
Для того, чтобы такое уравнение имело только одно решение, обе части равенства должны равняться нулю, x = 3a/2 = -1 --- решение не попадает в нужный промежуток.
- уравнение имеет два решения, а в промежуток попадает только одно.
* если уравнение имеет решением x = 1, то можно найти a:
1 - 3a - 3a - 1 = 0
a = 0
Подстановка a = 0 приводит к уравнению x^2 = 1, ни одно решение не попадает в промежуток.
* если уравнение имеет решением x = 2, то можно найти a:
4 - 6a - 3a - 1 = 0
a = 1/3
Подстановка a = 1/3 приводит к уравнению (x - 1/2)^2 = (3/2)^2, ни одно решение не попадает в промежуток.
* если значения функции f(x) = x^2 - 3ax - 3a - 1 в точках x = 1 и x = 2 имеют разные знаки, т.е. f(1) * f(2) < 0
(1 - 3a - 3a - 1)(4 - 6a - 3a - 1) < 0
-6a (3 - 9a) < 0
a (3a - 1) < 0
0 < a < 1/3
Собирая всё вместе, получаем 0 < a < 1/3.