Две высоты треугольника равны 5 и 10. найдите сумму целочисленных значений для третьей...

Положим что высоты опущены на стороны $BC;AC$ соответственно $AN;BH$ $10;5$
Тогда $10BC=5AC=AB*H$    $H$ третья высота
По неравенству треугольников   AB\\ AC+AB>BC\\ AB+BC>AC" alt="BC+AC>AB\\ AC+AB>BC\\ AB+BC>AC" align="absmiddle" class="latex-formula">
$AB<AC+\frac{AC}{2}$
$BC<\frac{AB(H+5)}{5}$
$AC<\frac{AB(H+10)}{10}$
откуда
   $\frac{20}{30}<\frac{6H}{30} \leq \frac{3(H+10)}{30}\\ H \in ( \frac{10}{3};10)\\$
сумма    $4+5+6+7+8+9=39$