В трапеции ABCD (AB||CD) ** диагонали AC взята точка P и через нее проведена прямая MN...

Question

В трапеции ABCD (AB||CD) на диагонали AC взята точка P и через нее проведена прямая MN параллельно прямой AB (точка M лежит на прямой AD, точкаN – на BC, Где на прямой AC надо взять точку P, чтобы сумма площадей треугольников APM и CPN была наименьшей

Comments

Тут есть много упрощений, которые сразу можно сделать. 1) можно НЕ ОГРАНИЧИВАЯ общность, считать CD II AB; а почему? :)) 2) если принять AM = х, то расстояния от Р до AD и BC - линейные функции x, и коэффициенты этих функций зависят от фиксированного угла ПАРАЛЛЕЛОГРАММА ABCD 3) при этом величины сторон сразу можно принять равными 1 (даже если они не равны! :))) 4) на самом деле это все означает, что если задача решена ДЛЯ КВАДРАТА, то она решена для всех случаев.

---

для единичного квадрата S = x^2/2 + (1 - x)^/2; ясно, что минимум у этой функции при x = 1/2;

---

для произвольного случая функция S(x) будет отличаться множителем. это легко показать :)

---

если x = 1/2, то P - середина AC а почему?

---

Я могу как нибудь Вам скинуть рисунок к этой задаче?

---

а тут нестандартное обозначение вершин, AB и CD - основания. Бред, я решал более интересную задачу...

---

Если обозначить z = AP/AC; a = AB; b = CD; H - высота трапеции; то S = (1 - z)^2*a*H/2 + z^2*b*H/2; или 2S/H = (1 - z)^2 + (b/a)*z^2; минимум найти очень легко. Скажем, если через производную, то 1 - z + (b/a)*z = 0; z = a/(a - b); ну, для квадратичной зависимости производные не нужны, просто так сразу ответ. А чертеж тут чего слать, не интересно...

---

надо же, я производную взял не верно :)))) чего только не бывает. Знак перепутал. Не берите с меня пример :))) z - 1 + (b/a)z = 0 конечно. Ну, это бывает :)))))) z = a/(a + b); да, эта точка совпадает с пересечением диагоналей.

Answer 1

Продолжу , положим что   , из следствия что треугольники подобны , так же как и   , получим  
 

 
а по свойству  диагональ делить треугольники на подобные что соответствую исходному, а остальные два треугольник будут равны 
 Ответ при пересечений диагоналей 

Comments

Спасибо Вам огромное, за то, что вы мне так помогаете. Если вам не трудно, решите пожалуйста оставшиеся задачи у меня в профиле