Решите уравнение arcsin(2x)+arcsin(x)=π/3 .

Question

Решите уравнение arcsin(2x)+arcsin(x)=π/3 .

Answer 1

arcsin(2x)+arcsin(x)=π/3

cos(arcsin(2x)+arcsin(x))=cos(π/3)
cos(arcsin(2x))*cos(arcsin(x))-sin(arcsin(2x))*sin(arcsin(x))=cos(π/3)
cos(arcsin(2x))*cos(arcsin(x))-2x*x=1/2
корень(1-4х^2)*корень(1-х^2)=1/2+2x^2
2корень(1-4х^2)*корень(1-х^2)=1+4x^2
4*(1-4х^2)*(1-х^2)=(1+4x^2)^2
х^2=t
4*(1-4t)*(1-t)=(1+4t)^2
4*(1-5t+4t^2)=1+8t+16t^2
4-20t=1+8t
3=28t
t=3/28
x=корень(3/28)

Answer 2

Arcsin(2x)+arcsin(x)=pi/3
Заменим :  arcsin(2x)=a    arcsin(x)=b
Откуда верно  что:
sin(a)=2sin(b)
a+b=pi/3
a=(pi/3-b)
2*sinb=sin(pi/3-b)
2sinb=√3/2 *cosb-1/2*sin(b)
4sinb=√3cosb-sinb
5sinb=√3*cosb
25sin^2b=3cos^2b
25sin^2b=3-3sin^2b
28sin^2 b=3
sin^2 b=x^2
28x^2=3
x=+-sqrt(3/28)
После  таких сложных  преобразований  мы могли преобрести лишние решения.
Очевидно что -sqrt(3/28) не  подходит   тк сумма арксинусов отрицательных  углов отрицательна.
Но  очевидно x=sqrt(3/28)  решение (это даже  можно проверить  на калькуляторе)
Покажем теперь что  других решений  быть не может:
Возьмем функцию:
y=arcsin(x)+arcsin(2x)-pi/3 Это  функция монотонна возрастающая,а тогда возможно лишь 1  решение.(тк  сумма   2 монотонно  возрастающих функций  монотонно  возрастающая функция)
Ответ:x=√(3/28)