На сторонах ab, bc, ac треугольника abc взяты точки m, k, pсоответственно, так что лучи...

Угол MPK не может быть равен 90 градусов, т.к. равен 90 градусам угол MKP, а в треугольнике MKP может быть не более одного прямого угла.

углы MKA и AKP по условию равны половинам углов BKA и AKC. Тогда
$\angle MKP=\angle MKA+\angle AKP=\dfrac12\angle BKA+\dfrac12\angle AKC=\dfrac12(\angle BKA+\\+\angle AKC)=\dfrac12\angle BKC=\dfrac12\cdot180^\circ=90^\circ$

** сторонах ab, bc, ac треугольника abc взяты точки m, k, pсоответственно, так что лучи...