В треугольнике ABC ** сторонах AB и BC взяты соответственно точки К и P так, что AK : KB...

Question 1

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC взяты соответственно точки К и P так, что AK : KB = 1 : 2, CP : PB = 2 : 1. Прямые AP и CK пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BEC равна 4.

Question 2

Опустим прямую $BD$ так чтобы она пересекала точку $E$ , по теорема Ван Обеля и Чевы соответственно получаем
$\frac{BE}{ED} = \frac{2}{1}+\frac{1}{2}\\ \frac{BE}{ED} = \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{DC}{AD}=1 \\ \frac{DC}{AD}=4\\$
$\frac{EC}{EK} = \frac{2}{1}+4 = 6$

$S_{BEC} =\frac{5a*3y*sinBDC}{2} = 4\\ S_{BDC} = \frac{7a*3y*sinBDC}{2}=\frac{28}{5}\\ S_{DEC} = \frac{28}{5}-4 = \frac{8}{5}\\ S_{DEC} = \frac{6b*4z*sinKCA}{2} = \frac{8}{5}\\ S_{KCA} = \frac{7b*5z*sinKCA}{2} = \frac{7}{3} \\ S_{KEAD} = \frac{7}{3} - \frac{8}{5} = \frac{11}{15}\\ S_{KEAD} = \frac{3x*7a *sinABD}{2} - \frac{2x*5a*sinABD}{2}= \frac{11}{15} \\ S_{ABD} = \frac{3x*7a*sinABD}{2} = \frac{21ax*sinABD}{2} = \frac{21}{15}\\ S_{ABC} = \frac{21}{5} + \frac{28}{5} = 7$


ответ $7$

Есть более короткое решение по теореме МЕНЕЛАЯ
   $\frac{AP}{PE} = \frac{7}{4}$ , тогда площадь треугольника
$\frac{7}{4}*4=7$

Матов_zn · Answer 1 · 2018-03-19T10:58:10+0000

Опустим прямую $BD$ так чтобы она пересекала точку $E$ , по теорема Ван Обеля и Чевы соответственно получаем
$\frac{BE}{ED} = \frac{2}{1}+\frac{1}{2}\\ \frac{BE}{ED} = \frac{5}{2}\\ \frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{DC}{AD}=1 \\ \frac{DC}{AD}=4\\$
$\frac{EC}{EK} = \frac{2}{1}+4 = 6$

$S_{BEC} =\frac{5a*3y*sinBDC}{2} = 4\\ S_{BDC} = \frac{7a*3y*sinBDC}{2}=\frac{28}{5}\\ S_{DEC} = \frac{28}{5}-4 = \frac{8}{5}\\ S_{DEC} = \frac{6b*4z*sinKCA}{2} = \frac{8}{5}\\ S_{KCA} = \frac{7b*5z*sinKCA}{2} = \frac{7}{3} \\ S_{KEAD} = \frac{7}{3} - \frac{8}{5} = \frac{11}{15}\\ S_{KEAD} = \frac{3x*7a *sinABD}{2} - \frac{2x*5a*sinABD}{2}= \frac{11}{15} \\ S_{ABD} = \frac{3x*7a*sinABD}{2} = \frac{21ax*sinABD}{2} = \frac{21}{15}\\ S_{ABC} = \frac{21}{5} + \frac{28}{5} = 7$


ответ $7$

Есть более короткое решение по теореме МЕНЕЛАЯ
   $\frac{AP}{PE} = \frac{7}{4}$ , тогда площадь треугольника
$\frac{7}{4}*4=7$