Решите уравнение

$|x|+y^{2}+z^{2}-2y+4z+5=0$

у переменных y и z выделяем полные квадраты

$|x|+(y^{2}-2y+1)-1+(z^{2}+4z+4)-4+5=0 \\\\|x|+(y-1)^2+(z+2)^2=0$

каждое из полученных слагаемых является неотрицательным число, поэтому их сумма равняется нулю тогда и только тогда, когда каждое из них одновременно обращается в нуль, т.е.

$|x|=0\\x=0\\\\(y-1)^2=0\\y-1=0\\y=1\\\\(z+2)^2=0\\z+2=0\\z=-2$

Ответ (0,1,-2)