В числе 101*102*...110 сосчитали сумму цифр. В полученном числе вновь сосчитали сумму...

Известно, что сумма цифр числа дает такой же остаток при делении на 9, что и само число (доказать это очень просто: пусть дано n-значное число, тогда
$\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i10^i=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i+\sum\limits_{i=1}^{n-1}(10^i-1)a_i$
Очевидно, вторая сумма делится на 9 - т.к. имеет вид 9 * a1 + 99 * a2 + 999 * a3 + ...)

Остаток от деления числа 101 * 102 * ... * 110 на 9 равен 0, поэтому полученное число также должно делиться на 9. Есть только 2 однозначных числа, делящихся на 9: это 0 и 9. Так как сумма цифр явно не равна нулю, ответ 9.