Логарифмические уравнения.

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

$\log_3^2x-2\log_3x+3=2-|x-3| \\\ \log_3^2x-2\log_3x+1+2=2-|x-3| \\\ (\log_3x-1)^2+|x-3|=0$
Сумма неотрицательных чисел равна 0 когда они оба равны нулю.
$\log_3x=1; \ x=3 \\\ |x-3|=0; \ x=3$
Ответ: 3

$2\log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x-3})+\log_{\frac{1}{2}}(7-x-\frac{32}{x+5})+1=0 \\\ \log_{\frac{1}{2}}(\frac{x-3-2(x+1)}{(x+1)(x-3)})^2+\log_{\frac{1}{2}}(\frac{(7-x)(x+5)-32}{x+5})+1=0 \\\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{(-x-5)^2}{(x+1)^2(x-3)^2}+\log_{\frac{1}{2}}(\frac{7x-x^2+35-5x-32}{x+5})+1=0 \\\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{(x+5)^2}{(x+1)^2(x-3)^2}+\log_{\frac{1}{2}}(\frac{-x^2+2x+3}{x+5})+1=0 \\\ \log_{\frac{1}{2}}\frac{(x+5)^2}{(x+1)^2(x-3)^2}+\log_{\frac{1}{2}}(-\frac{(x-3)(x+1)}{x+5})+1=0$
$\log_{\frac{1}{2}}(-\frac{(x+5)^2(x-3)(x+1)}{(x+1)^2(x-3)^2(x+5)})=-1 \\\ \log_{\frac{1}{2}}(-\frac{x+5}{(x+1)(x-3)})=-1 \\\ -\frac{x+5}{(x+1)(x-3)}=2 \\\ -x-5=2(x^2-3x+x-3) \\\ 2x^2-4x-6+x+5=0 \\\ 2x^2-3x-1=0$
Сами корни можно найти лишь с той целью, чтобы убедиться что при их подстановке в исходное уравнение оно не теряет смысла. Сумму же этих корней находим по теореме Виета, она равна -(-3)/2=1,5
Ответ: 1,5

$x^{\lg25}-4\cdot5^{\lg x}=5 \\\ 25^{\lg x}-4\cdot5^{\lg x}=5 \\\ (5^{\lg x})^2-4\cdot5^{\lg x}-5=0 \\\ D_1=2^2+5=9 \\\ 5^{\lg x} \neq 2-3<0 \\\ 5^{\lg x}=2+3=5 \\\ \lg x=1 \\\ x=10^1=10$
Ответ: 10

$\log_{x-1}(x+5)=2 \\\ (x-1)^2=x+5 \\\ x^2-2x+1-x-5=0 \\\ x^2-3x-4=0 \\\ (x-4)(x+1)=0 \\\ x_1=4; \ x_2=-1$
При подстановке второго корня в исходное уравнение получим отрицательное основание, чего не может быть - значит, это посторонний корень.
Ответ: 4

$\log_{x^3+2x^2}( \frac{(x-4)^2}{x+2} )=1 \\\ x^3+2x^2= \frac{(x-4)^2}{x+2} \\\ x^2(x+2)^2=(x-4)^2 \\\ 1) \ x(x+2)=x-4 \\\ x^2+2x-x+4=0 \\\ x^2+x+4=0 \\\ D<0 \\\ 2) \ x(x+2)=4-x \\\ x^2+2x+x-4=0 \\\ x^2+3x-4=0 \\\ (x+4)(x-1)=0 \\\ x_1=-4; \ x_2=1$
При подстановке первого корня в исходное уравнение получаем отрицательное число в основании логарифма - посторонний корень.
Ответ: 1

$x^{\log_{x-2}3}= \frac{1+\log_3x}{3+3\log_3x} \\\ 3^{\log_{x-2}x}= \frac{1+\log_3x}{3(1+\log_3x)} = \frac{1}{3} =3^{-1} \ (\log_3x \neq -1) \\\ \log_{x-2}x=-1 \\\ (x-2)^{-1}=x \\\ \frac{1}{x-2} =x \\\ x^2-2x=1 \\\ x^2-2x-1=0 \\\ D_1=1^2+1=2 \\\ x= 1\pm \sqrt{2}$
При подстановке корня $x_2=1- \sqrt{2}$ основание логарифма отрицательно - это посторонний корень. При подстановке корня 2.4" alt="x_1=1+ \sqrt{2}>2.4" align="absmiddle" class="latex-formula"> уравнение обращается в верное равенство
Ответ: $1+ \sqrt{2}$

$\log_{x+2}(x^3+2x^2-1)\cdot \log_{x+1}(x+2)=2 \\\ \frac{\log{x+2}(x^3+2x^2-1}{\log_{x+2}(x+1)} =2 \\\ \log_{x+1}(x^3+2x^2-1)=2 \\\ (x+1)^2=x^3+2x^2-1 \\\ x^3+2x^2-1-x^2-2x-1=0 \\\ x^3+x^2-2x-2=0 \\\ x^2(x+1)-2(x+1)=0 \\\ (x+1)(x^2-2)=0 \\\ x=-1; \ x=\pm \sqrt{2}$
При подстановке найденных корней в уравнение получим, что только корень $x= \sqrt{2}$ обращает его в верное равенство (при подстановке других корней получаем отрицательное основание или подлогарифмическое выражение)
Ответ: $\sqrt{2}$

$(x^2-3x)\log_2(x^3-7x^2+15x-9)=0$
Произведение равно нулю когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Первый множитель равен нулю при х=0 и х=3, но эти значения обращают подлогарифмическое выражение в отрицательное или нулевое значения соответственно.
<e

Artem112_zn (271k баллов) 19 Март, 18

uekmyfhfp_zn · Answer 1 · 2018-03-19T12:09:39+0000

3 . Прологарифмируем и получим.
(x^lg5)^2 - 4* 5^lgx -5 = 0;
(5^lgx)^2 - 4* 5^lgx - 5 = 0;
5^lgx = t >0 ;
t^2 - 4t - 5 = 0;
t1 = - 1; 5^lgx = -1 <0;<br>t2 = 5; 5^lgx = 5; 5^lgx = 5^1 ; lgx = 1; x = 10.
Ответ х = 10
4. (x-1)^2 = x+5;
x^2 - 2x + 1 - x - 5 = 0;
x^2 - 3x - 4 = 0;
x1 = - 1.
x2 = 4.
Одз
{x-1 >0; x>1;
x+5>0; x> - 5; ⇒ ОДЗ (1;2) U (2; + бесконечность).
x-1≠1; ⇒ x≠2;
Как видно, корень х = - 1 не входит в область допустимых значений.
Ответ х = 4.
5. x^3 + 2x^2 = (x-4)^2 / (x+2);
(x^3 + 2x^2)* (x+2) = (x-4)^2;
x^4 + 2x^3 + 2x^3 + 4x^2 - x^2+ 8x - 16 = 9;
x^4 + 4x^3 + 3x^2 + 8x - 16 = 0.
методом подстановки находим корни
х = 1 и х= - 4.
После деления уголком на x^2+3x -4= (х-1)(x+4) выражение примет вид :
(x^2 + 3x- 4)*(x^2 + x + 4) = 0;
(x-1)(x+4)(x^2 + x + 4) = 0;
x^2 + x + 4 ≠0 (D <0); ⇒<br>x1 = 1; x2 = - 4.
Чтобы не мучиться с нахождением одз, просто подставим полученные корни в уравнение и проверим, не теряет ли логарифмическое выражение смысл.
При х = 1 все нормально, а вот при х = - 4 мы получаем отрицательное основание логарифма, сл-но х = - 4 - это посторонний корень. Ответ х= 1