Решение неравенства log0,5(х+3)<log0,25(х+15) решение и ответ

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

0.25 = 0.5^2
Степень из-под основания логарифма выносится, как 1\n
Тогда получаем:
log0.5(x+3) < 0.5 * log0.5(x + 15)
Заносим степень под знак логарифма
log0.5(x+3) < log0.5(sqrt(x+15))
Т.к. основания меньше 1, то
из ОДЗ
x > -3 и x > -15 , т.е. в выражении:
x + 3 > sqrt(x+15) обе части положительные, значит, можно возвести в квадрат:
x^2 + 2x + 9 > x + 15
x^2 + x - 6 > 0

x1 + x2 = -1
x1*x2 = -6

x1 = -3
x2 = 2

+ -3 - 2 +
x < -3 и x > 2
с учетом ОДЗ x > -3

остается только x > 2

Ответ: x > 2

tausinv_zn (63.7k баллов) 19 Март, 18

kalbim_zn · Answer 1 · 2018-03-19T12:12:17+0000

$log_{0.5}(x+3)<log_{0.5^{2}}(x+15)$
$log_{0.5}(x+3)<0.5*log_{0.5}(x+15)$
$log_{0.5}(x+3)<log_{0.5}( \sqrt{x+15})$

\sqrt{x+15}" alt="x+3>\sqrt{x+15}" align="absmiddle" class="latex-formula"> - т.к. основания логарифмов меньше 1, то подлогарифмические выражения сравниваются с обратным знаком.
$\sqrt{x+15}<x+3$
$x+15<(x+3)^{2}$ - возведем в квадрат обе части с учетом ОДЗ.
ОДЗ:

0} \atop {x+3>0}} \right. " alt=" \left \{ {{x+15>0} \atop {x+3>0}} \right. " align="absmiddle" class="latex-formula">

-15} \atop {x>-3}} \right. " alt=" \left \{ {{x>-15} \atop {x>-3}} \right. " align="absmiddle" class="latex-formula">

-3" alt="x>-3" align="absmiddle" class="latex-formula">
$x+15<x^{2}+6x+9$

0" alt="x^{2}+6x+9-x-15>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="x^{2}+5x-6>0" align="absmiddle" class="latex-formula">

0" alt="x^{2}+5x-6=0, D=25+24=49>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
$x_{1}= \frac{-5-7}{2}=-6$
$x_{2}= \frac{-5+7}{2}=1$

1" alt="x<-6, x>1" align="absmiddle" class="latex-formula"> - но с учетом ОДЗ получаем:

1" alt="x>1" align="absmiddle" class="latex-formula">

Ответ: x>1