Найдите все целочисленные решения уравнения х²+5y² +34z²+2xy-10xz-22yz=0

Question

Найдите все целочисленные решения уравнения х²+5y² +34z²+2xy-10xz-22yz=0

Comments

обычно в таких случаях пишут, относительно какой переменной решать

---

Kalbim - решайте сами, а на ответ выйти не сложно. Решать любое уравнение второго порядка в области целых чисел - это очень легко. x=10m-3n; y=3n; z=2m; n, m - целые.

---

Вы правильно заметили. k=m=n.

---

Решение было удалено по причине: Нет расчетов. Был дан только конечный ответ.

---

Да, все верно.

Answer 1

х²+5y² +34z²+2xy-10xz-22yz=0
Рассмотрим уравнение как квадное относительно х
x²+x(2y-10z)+5y²+34z²-22z=0
D=-(4y-6z)²
Чтобы решения были D=-(4y-6z)²=0⇒2y-3z=0
х=5z-y⇒х²+5y² +34z²+2xy-10xz-22yz=(x-5z+y)²=0⇒x-5z+y=0
2y-3z=0⇒y=3z/2⇒z=2y/3⇒z=2x/7
x=7k, y=3k, z=2k, k∈z

Comments

А выделением полных квадратов нельзя? Можно.

---

Я тоже как Вы думаю, надо ли? Коэффициент угадывание решения имеет более большое значение. (x+y-5z)^2+(2y-3z)^2=0 Вычисляя можно перейти к такому виду. А можно решит как Диофантовое уравнение второго порядка используя общую формулу.