Алгебра, функции. помогите пожалуйста: 2.6 (а,б) 2.7 (а,б)

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

$2.6 \ a) \ y = x^2 - 8x + 1$

Парабола, ветви который идут вверх (коэффициент при старшей степени положительный). Соответственно, сверху не ограничена. Снизу ограничена. Найдём вершину параболы:

$x_v = -\frac{b}{2a} = 4\\\\ y_v = y(x_v) = 16 - 32 + 1 = -15\\\\ y \geq -15$

0\\\\ y = 2 - \frac{4}{x}" alt="b) \ y = \frac{2x - 4}{x}, \ x > 0\\\\ y = 2 - \frac{4}{x}" align="absmiddle" class="latex-formula">

Это гипербола. Она возрастает на всём промежутке, а следовательно и при x > 0. (В этом легко убедиться взяв производную, но это и так вытекает из свойств гиперболы с отрицательным коэффициентом при x.)
Посмотрим, в пределе, ограниченна ли она сверху.

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} (2 - \frac{4}{x}) = 2$

Следовательно, $y \leq 2$ , при

0" alt="x > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">.

$2.7 \ a) \ y = \sqrt{-x^2 + 4x - 5}\\\\ -x^2 + 4x - 5 = 0$

Парабола, ветви которой направленны вниз.

$D = 16 - 20 = -4$

Корней нет, следовательно вершина лежит ниже оси абсцисс.
Тогда подкоренное выражение принимает всегда отрицательные значения, и следовательно функция не имеет смысла.

$b) \ y = \sqrt{\frac{x^2 - 4x + 1}{5}}\\\\$

Арифметический корень не принимает отрицательные значения, следовательно, функция ограничена снизу $0 \leq y$ .

$\frac{x^2 - 4x + 1}{5} = 0$

Парабола, ветви которой направленны вверх. Следовательно, функция сверху не ограничена.

$x^2 - 4x + 1 = 0\\\\ D = 16 - 4 = 12\\\\ x_1 = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = 2 + \sqrt{3}\\\\ x_2 = \frac{4 + \sqrt{12}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Оценка $0 \leq y$ точная, так, как парабола имеет вещественные корни.

Voxman_zn (8.8k баллов) 19 Март, 18