Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение: (n³ +3n ²+8n)...

Question

Докажите, что для любого натурального значения n справедливо утверждение:
(n³ +3n ²+8n) делится на 3

Answer 1

N³ + 3n²+8n делится на 3 ?
n³ + 3n² + 6n+ 2n =>  (3n² + 6n) делится на 3, проверим (n³ + 3n²)
n³ + 2n = n³ + 3n- n =>   3n  делится на 3,  проверим (n³ - n)
n³ - n = n(n²-1) =n(n-1)(n+1) = (n-1)(n)(n+1) произведение трех последовательных целых чисел всегда  делится на 3
Доказали, что  n³ + 3n²+8n делится на 3

Comments

в архив

Answer 2

N^3 + 3n^2 + 8n = (n^3 - n) + 3(n^2 + 3n) = (n - 1)n(n + 1) + 3(n^2 + 3n)

Первое слагаемое делится на 3, т.к. среди трёх последовательных чисел n - 1, n, n + 1 всегда найдется число, кратное трем.
Второе слагаемое делится на 3 по очевидным соображениям.

Тогда и вся сумма делится на 3.

Comments

Спасибо. Отлично.

---

в архив